Новые Преобразования Лоренца. Новая Формула Сложения Скоростей. Простое Объяснение Парадокса Близнецов
Введение.
Рассмотрим реальное физическое пространство, вспомним, что измеряем любую координату в любой движущейся системе – светом. Измерение релятивистской линейкой и синхронизацию множества часов через несколько ангстрем реально не сделать. Все сведется к теоретическим предположениям, которые можно свести к измерению светом. Например, линейка состоит из молекул, между которыми действуют электрические (путь только) силы, а значит, каждую пару молекул можно представить, как фотонные часы. Фактически мы прикладываем не линейку, а множество фотонных часов и т.п.
Рассмотрим две материальных точки М и М’ с ним связаны соответственно инерциальные системы отсчета S и S’
Точку М определяют координаты x,y,z,t, а точку М’ определяют координаты x’,y’,z’,t’, относительно выбранного тела Т. Известно, что тогда преобразования Лоренца (не будем расписывать всем известные коэффициенты) выглядят:
t=At’+Bx’, x=Dt’+Ex’ , y=y’, z= z’ (1)
На сайте http://ielkin1.livejournal/
Я показал, что измерения координат светом, соответствуют измерению на световом конусе в соответствующем пространстве событий. В этом случае есть возможность изменить (1) на произвольный множитель.
Это означает, что верно:
t=N(At’+Bx’), x=N(Dt’+Ex’) , y=Ny’, z= Nz’ (2)
1) Введем b=v/c, где v – скорость движения S’, относительно S
c – скорость света.
Рассмотрим вариант, когда:
N=1/√(1-b²) (3)
Тогда преобразования координат будут выглядеть:
t=(t’+x’b/c)/(1-b²), x=(bct’+x’)/(1-b²) (4)
y=y’/√(1-b²) z=z’/√(1-b²)
2) Получим формулу сложения скоростей.
А) В начале покажем, что способ дифференцирования не пригоден для вывода формулы сложения скоростей. Покажем это на примере СТО. Не будем задавать все обозначения – это сделано практически одинаково многими авторами (я, например, пользовался книгой Н.В. Ефимова). Для вывода формулы сложения скоростей пользуются преобразованиями Лоренца:
t=(t’+x’v/c²)/√(1-v²/c²), x=(vt’+x’)/√(1-v²/c²) (1А)
Хочу отметить, что в формуле (1А) знак у скорости v меняет значение координаты. При этом он (знак) определяет направление движения движущейся инерциальной системы отсчета S’, по отношению к покоящейся инерциальной системы отсчета S.
Далее берут полные дифференциалы, делят и получают:
dx/dt=(v+dx’/dt’)/(1+(v/c²)(dx’/dt’)) (2А)
или
u=(v+u’)/(1+vu’/c²) (3А)
Это и есть искомая формула. С математической точки зрения вроде все безупречно. Попробуем вычислить более подробно.
Что такое дифференциал – это предел конечной разности. Запишем конечную разность (например, для x):
x1=(vt’1+x’1)/√(1-v²/c²) (4А)
Здесь все правильно.
Запишем x2. С математической точки зрения – поменяли индексы и все. Но с практической точки зрения измерить x2 (чтобы сохранить синхронизацию часов, чтобы все координаты соответствовали друг другу) можно только сигналом, который идет из S’ в S. Этот сигнал идет из x2’, проходит центр координат S’, затем идет в центр координат S. Желающие могут сами попробовать измерить. Вся литература, посвященная данному измерению, описывает только такой способ. Но, измерение подобным способом соответствует знаку минус у скорости (в абсолютных значениях) в формуле (1А). Это означает, что конечную разность нам не записать.
Формулу сложения скоростей легко получить из сравнения размера, например линейки длинной L, в разных инерциальных системах координат.
Берем три инерциальных системы координат S, S’, S’’: S – покоится, S’– движется в S со скоростью v, а S’’ – движется в S’ со скоростью u’. Тогда длины соответственно будут L, L’, L’’.
Если в начальный момент времени центры координат совпадают (начало линейки совпадает с центром координат), то координата окончания линейки совпадет с ее длинной. Координаты разных систем координат (соответственно и окончания линейки) мы пока не связываем между собой. Поэтому
x=L, x’=L’, x’’=L’’ (5А)
Измеряем световым сигналом, поэтому:
x’=ct’ (6А)
Это можно объяснить еще и так: в пространстве событий это измерение соответствует измерению на световом конусе, тогда квадратичная форма тождественный ноль:
x’²-c²t’²=0 (7А)
Подставим в (1А) значения (5А) и (6А), получим:
x=x’√(1+v/c)/√(1-v/c) (8А)
x’=x’’√(1+u’/c)/√(1-u’/c)
x=x’’√(1+u/c)/√(1-u/c)
подставим:
[(1+v/c)/(1-v/c)][(1+u’/c)/(1-u’/c)]= (1+u/c)/(1-u/c), (9А)
из этого легко получить общеизвестную формулу:
u=(v+u’)/(1+vu’/c²) (10А)
Замечу, что это случайное совпадение с формулой, получаемой при дифференцировании, так как знаменатель формулы (1А) не участвует в дифференцировании и в итоге сокращается. Но если бы мы имели другой знаменатель, то вывод формулы сложения скоростей путем дифференцирования и нашим способом привел бы к разным результатам.
Б) Но наш случай – это другой знаменатель. Выражения аналогичные (8А), но в случае наших преобразований координат будут:
x=x’/(1-v/c) (5)
x’=x’’/(1-u’/c)
x=x’’/(1-u/c)
после подстановки:
1/(1-u/c)=[1 /(1-v/c)][1/(1-u’/c)] (6)
отсюда легко получить формулу сложения скоростей:
u=v+u’- vu’/c (7)
Можно ее проверить предельными случаями – все верно.
В) Парадокса близнецов – нет.
По аналогии с формулой (5) запишем:
t=t’/(1-v/c) (8)
На Земле нас интересует, сколько там времени прошло, когда у нас прошло t? То есть нас интересует величина t’.
При удалении ракеты от Земли:
t1’= t1(1-v/c) (9)
При приближении ракеты к Земле:
t2’=t2(1+v/c) (10)
Для Земли время полета ракеты туда и обратно одинаково, т.е.
t1=t2 , найдем общее время полета космонавта:
t’= t1’+ t2’= 2t1 (11)
Точно такое же время, что и на Земле. Ч.Т.Д.
Литература: 1)Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, «Теория поля», Москва главная редакция физико-математической литературы, 1967г., печ. л. 28,75.
2) Н.В. Ефимов, «Высшая геометрия», Москва, государственное издательство физико-математической литературы, 1961г.,
печ. л. 36,25.
25 января 2009 г. Игорь Елкин
http://www.rusarticles.com/fizika-statya/novye-preobrazovaniya-lorenca-novaya-formula-slozheniya-skorostej-prostoe-obyasnenie-paradoksa-bliznecov-749630.html
Об авторефизик
Магнитное Поле Земли И Человеческая Цивилизация <Предыдущая | Следующая> Компьютер В Квартире - Организуем Рабочее Место |
---|